Содержание

Введение 3
Глава 1 Теоретические основы координатно-векторного метода решения стереометрических задач 5
1.1 Исторические сведения об открытии координатно-векторного метода 5
1.2 Основные формулы и понятия координатно-векторного метода для решения стереометрических задач 9
Выводы по главе 1 12
Глава 2 Методические аспекты обучения старшеклассников решению стереометрических задач координатно-векторным методом 13
2.1 Этапы обучения решению стереометрических задач координатно-векторным методом 13
Формирование системы знаний по решению стереометрических задач координатно-векторным методом можно разбить на три основных этапа 13
2.2 Алгоритм решений стереометрических задач координатно-векторным методом 16
Выводы по главе 2 22
Заключение 23
Список литературы 26
Приложение 29

Введение

Актуальность исследования заключается в том, что координатный метод решения задач на сегодняшний день является наиболее мощным и при правильном подходе позволяет решать практически все виды математических, физических, астрономических и технических задач. Кроме того, метод координат в школьной программе используется довольно ограниченно и неполно.
Задачи в области стереометрии — это замечательные упражнения, которые способствуют развитию пространственных концепций, умению логически мыслить и способствуют более глубокому овладению всем школьным курсом математики.
Решение стереометрической задачи чаще всего сводится к решению контурных задач. Поэтому при решении задач в стереометрии все время приходится возвращаться к планиметрии, повторять теоремы и вспоминать формулы, необходимые для решения. При решении стереометрических задач, даже больше, чем в планиметрии, используются инструменты алгебры и тригонометрии, используются векторные и координатные методы, дифференцирование и интегрирование.
Таким образом, стереометрические задания способствуют творческому овладению всей совокупностью математических знаний.
При решении геометрических задач, помимо традиционных методов, использующих алгебру и тригонометрию, могут использоваться другие методы, в частности, векторный метод. Умение использовать векторы требует определенных навыков. Мы должны научиться переводить геометрические утверждения на векторный язык и, наоборот, интерпретировать векторные отношения геометрически. Векторный метод, как и любой другой, не всегда применим. Способность заранее предвидеть, подходит ли она для решения конкретной задачи или нет, развивается из опыта.
Главная ценность метода координат – перенесение в геометрию способов решения задач свойственных алгебре, и поэтому обладающих большой общностью. Придав геометрическим исследованиям алгебраический характер метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры – единообразие способов решения задач. Также метод координат является лёгким для запоминания.
Объект исследования: процесс обучения геометрии учащихся 10 — 11 классов.
Предмет исследования: методические особенности методических особенностей обучения старшеклассников решению стереометрических задач координатно- векторным методом.
Цель работы – рассмотрение методических особенностей обучения старшеклассников решению стереометрических задач координатно- векторным методом.
Задачи работы:
— изучить исторические сведения об открытии координатно-векторного метода;
— раскрыть основные формулы и понятия координатно-векторного метода для решения стереометрических задач;
— выделить этапы обучения решению стереометрических задач координатно-векторным методом;
— проанализировать алгоритм решений стереометрических задач координатно-векторным методом.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: изучение литературы по теме исследования, самостоятельное решение задач.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

Глава 1 Теоретические основы координатно-векторного метода решения стереометрических задач

1.1 Исторические сведения об открытии координатно-векторного метода

Возникшая в первой половине 17 века аналитическая теория установила связь между алгеброй и геометрией, эта теория возникла не случайно, возникновение теории было подготовлено как ходом развития математики этого, так и общими потребностями производства, экономики и торговли той эпохи. Известно, что после Аполлония в Древней Греции не было крупных открытий в геометрии[13, С.65].
В этой науке произошел длительный застой, причинами которого были не только политические и экономические условия, но и следующий существенный факт: геометрические проблемы классического периода оказались почти полностью исчерпаны. Все, что можно было сделать в геометрии с помощью ограниченного математического аппарата того времени, которым пользовались греки, было сделано ими, и выполненная работа полностью отвечала требованиям экономики, технологии и науки.
Идеи Евдокса, Архимеда, Аполлония и других корифеев древней математики нельзя было развивать дальше без расширения понятия числа, введения в математику символики, идеи переменных величин и движения, без создания дифференциального и интегрального исчисления.
Но такое революционное преобразование математики потребовало не только длительного времени, но и в основном объективных дополнительных внешних факторов и стимулов, зависящих от производительных сил и производственных отношений[8, С.46].
Лишь после великих географических открытий (Америки в 1492 г., морского пути в Индию в 1498 г.), которые вызвали дальнейшее бурное развитие производства, торговли, мореплавания и поставили задачи составления географических карт, определения места корабля в море, составления более совершенных тригонометрических и астрономических таблиц и разработки более рациональных методов вычисления, лишь после возникновения в ряде европейских стран новой формы производства, стало заметным дальнейшее интенсивное развитие науки и техники[11, С.43].
Новое учение Коперника в астрономии привело к открытию Кеплером законов движения планет. Необходимость более широких и точных наблюдений за небесными телами привела к созданию ряда оптических приборов и развитию геометрической оптики. Все эти вопросы науки и техники ставят перед математикой ряд новых проблем, которые невозможно решить старыми средствами и методами. Их тогда называли в XVII в. создание сначала аналитической геометрии, а затем дифференциального и интегрального исчисления.
В основе аналитической геометрии, созданной П. Ферма и Р. Декартом, лежат две идеи:
1) идея координат, которая привела к арифметизации плоскости, то есть к каждой точке плоскости добавляются два числа соответствие, взятое в определенном порядке, и наоборот,
2) идея интерпретировать любое уравнение с двумя неизвестными как определенную линию на плоскости и, наоборот, представлять любую линию, определенную как определенное местоположение точек, соответствующих уравнению[21, С.54].
Первая работа, которая содержит некоторые описания системы координат и использования этого метода в решении задач, была написана примерно в середине 30-х годов 17-го века. Пьер Ферма и назвал их «Введение в теорию плоских и твердых мест». Ферма пришел к своим новым идеям, тщательно изучив, как и все великие математики того времени, классические труды древнегреческих ученых, в частности Аполлония. Ферма даже занималась восстановлением одной утраченной работы Аполлония — «Плоские точки». В предисловии к «Введение» Ферма указывает, что древнегреческие ученые не имели общих методов решения геометрических задач. Каждое задание рассматривалось отдельно и независимо от других, с которыми оно было связано.
Отсутствие единого общего подхода к исследованию и решению задач, как и отсутствие символики, приводило к повторениям одного и того же и делало невозможным рационально классифицировать разрозненные задачи и обозревать их сущность с более широкой точки зрения. Ферма задался целью установить общий подход к исследованию геометрических мест. Он с самого начала заявляет, что всякое уравнение между двумя «неизвестными» представляет геометрическое место, описываемое концом одной из неизвестных. Его «неизвестные», т. е. переменные, являются отрезками (рис.1). На прямой NZ (наша ось абсцисс), обозначаемой буквой А (наш х), он отмечает начальную точку N, затем при точке Z строит угол NZ1 (обычно прямой) и откладывает отрезок Z1 (ординату), обозначаемый буквой Е (наш у) и равный второй неизвестной.
I

Z N
Рис.1

Конец ординаты I и описывает соответствующее геометрическое место. Идея измерения абсцисс на некоторой фиксированной прямой N2 и определения точек любой прямой посредством их расстояний от некоторой фиксированной точки нам кажется теперь тривиальной, однако никто раньше Ферма и Декарта до такой «простой вещи» не додумался.
Одним из недостатков труда Ферма была ограниченность его системы координат. Во-первых, фиксированной считалась только ось абсцисс N2. Ось ординат по существу отсутствует, она как бы подразумевается. Во-вторых, х и у принимают, как и в древности, лишь положи тельные значения. Фактически вся система координат состояла из одного, первого квадранта. «Геометрия» Декарта была впервые опубликована на французском языке в 1637 г. в качестве одного из трех приложений к его философскому труду «Рассуждение о методе». В этом, как и в других своих произведениях, Декарт высказал мысль, что математика является важнейшим средством для понимания законов вселенной и лучшим подтверждением того, что человеческий разум способен найти истину в науке и познавать природу. Еще в 23-летнем возрасте Декарта озарила мысль о перестройке всех наук на математической, аналитической основе, мысль о создании одной единой и всеобъемлющей науки — «универсальной математики».
Эта мысль его постоянно воодушевляла, хотя ему так и не удалось осуществить ее полностью. «Геометрия» Декарта и появилась как частичная реализация общей его идеи, как объединение арифметики и алгебры с геометрией. Фактически «Геометрия» Декарта является алгебраическим трудом, и мало в ней можно найти из того, что мы сегодня называем «аналитической геометрией», однако основная идея последней-алгебраический способ исследования вопросов геометрии с помощью метода координат — в ней четко изложена[21, С.56].
Значительная часть «Геометрии» посвящена методам алгебраического и графического решения уравнений.
Итак, не только у Ферма, но и у Декарта еще нет того, что мы называем системой декартовых координат на плоскости, есть только ось абсцисс с начальной точкой на ней. Хотя «Геометрия» Декарта еще не представляла собой настоящую аналитическую геометрию, все же она как наука развивалась именно под влиянием этой книги Декарта, а не под влиянием «Введения» Ферма, появившегося в печати лишь в 1679 г.
Еще сложнее что-то сказать о полярной системе координат. Считается, что его основы были также заложены в геометрии Декарта, но его дальнейшее глубокое развитие в математике не прослеживается. И математика уделяет мало внимания полярной системе координат. Это связано с неудобством его использования при проведении расчетов и построений, а также со сложностью восприятия объектов в полярной системе координат. Хотя при изучении объектов, находящихся на больших расстояниях и недоступных объектов, очень удобно использовать полярную систему координат. Вся теория движения небесных тел основана на полярной системе координат. Были разработаны формулы для перехода от декартовой системы координат к полярной и наоборот [6, С.112].

1.2 Основные формулы и понятия координатно-векторного метода для решения стереометрических задач

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:
1. Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
3. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C). [18, С.101].
Система координат — это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел или символов, определяющие положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием масштаба (отрезка для измерения длин) и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в определенном порядке. [1, С.32].

Точка пересечения осей называется началом координат, сами оси -координатными осями, первая из них – осью абсцисс (Ox), вторая – осью ординат (Oy), третья – осью аппликат (Oz),
O — начало координат (Рис. 2).
Рисунок 2

Если М – произвольная точка пространства, то проведя три плоскости перпендикулярные координатным осям, получим точки пересечения с осями:
Прямоугольными декартовыми координатами называются числа, определяемые формулой: — величины направленных отрезков. Число x называется первой координатой, y — второй и z – третьей.
Расстояние между двумя точками в пространстве можно определить по формуле: [5, С.87].
В пространстве также можно использовать полярные, сферические и цилиндрические координаты. Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае.
Вектор – это направленный отрезок.
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Векторы, как и точки, в пространстве имеют свои координаты. Их несложно найти: если даны точки , тогда вектор имеет следующие координаты: .
Частным случаем является радиус-вектор, точка приложения которого совпадает с началом координат. И для радиус-вектора координатами в этой системе будет проекция на координатные оси. Можно сказать, что координаты радиус вектора данной точки М совпадает с координатами точки М. Таким образом, координаты точки М можно определять с помощью радиус-вектора. Радиус-вектором точки М называется вектор , точка приложения которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке М. Декартовыми прямоугольными координатами X, Y, Z вектора r называется его проекция на координатные оси .
Если x, у, z – декартовые прямоугольные координаты точки М, то Х=х, Y=y, Z=z, т.е. координаты радиус вектора равны координатам точки М (Рис. 3).

Введем единичные векторы: , , координатных осей (их называют ортами) и векторы , где A,B,C – вершины прямоугольного параллелепипеда, для которого OM является диагональю. По определению суммы: , поэтому .
Эти формулы выражают расположение вектора r по базисным векторам. Векторы, стоящие в правой части формулы, называются составляющими или компонентами вектора r.
На основании теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем формулу выражающую длину вектора или через его координаты:

Равные векторы имеют равные координаты, поэтому координаты вектора не зависят от точки его приложения. Координатами любого вектора называют его проекции на координатные оси. Если даны векторы (т.е. известны их координаты) и указаны определенные соотношения между ними, то они равносильны аналогичным числовым соотношениям между координатами [4, С.49].

Выводы по главе 1

Таким образом, овладение учащимися универсальной учебной деятельностью является требованием стандартов нового поколения. В педагогическом процессе развитие творческих способностей ученика следует рассматривать как развитие его потенциала внутренней активности, способности быть творцом, активным творцом своей жизни, уметь ставить цель, искать пути для достижения это, иметь возможность свободно выбирать и брать на себя ответственность, максимизировать свои способности, выходить за их пределы. Затем, наряду с общей грамотностью, на первый план выходят такие качества выпускника, как, например, разработка и проверка гипотез, способность работать в режиме проекта, инициативность в принятии решений и т. д., они становятся одним из значительных ожидаемых результатов образования и предметом стандартизации.
В настоящее время на уроках математики, в связи с новой формой сдачи выпускных экзаменов в школе, все больше внимания уделяется изучению нестандартных методов решения стереометрических задач.

Глава 2 Методические аспекты обучения старшеклассников решению стереометрических задач координатно-векторным методом

2.1 Этапы обучения решению стереометрических задач координатно-векторным методом

Формирование системы знаний по решению стереометрических задач координатно-векторным методом можно разбить на три основных этапа
1. Подготовительный этап. Цель: воспроизведение знаний и умений, необходимых для усвоения данной темы.
В данном случае необходимо владение компонентами векторного и координатного методов в пространстве.
Учащиеся профильных классов легко усваивают алгоритм построения уравнения плоскости:
1. Найдем координаты трех точек, принадлежащих плоскости А(x1, y1, z1), В(x2, y2, z2), С (x3, y3, z3).
2. Зададим произвольную точку М (x, y, z), принадлежащую плоскости.
3. На основе свойства компланарности векторов, составим определитель третьего порядка

и приравниваем его к 0
4. Вычислив определитель, получим уравнение плоскости Ах +Ву + Сz + D = 0.
Необходимо, также отметить, что при введении темы «Метод координат» учащиеся должны овладеть применением следующих формул:
Формула нахождения угла между прямыми в пространстве:,

где { }, { } — координаты направляющих вектора заданных прямых.
Формула нахождения угла между двумя плоскостями:
,

где {A1,B1,C1},{A2,B2,C2} – направляющие плоскостей.
Формула нахождения угла между прямой и плоскостью

где { }, {A,B,C}– направляющие прямой и плоскости.
Формула нахождения расстояния от точки М(x0,y0,z0) до плоскости :
Пусть плоскость задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, тогда

2. Мотивационный этап. Цель: убедить учащихся в необходимости овладения методом.
Рассмотрим применение данной теории на примере решения задачи:
«Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно 1. На сторонах AB, AD и СС1 взяты соответственно точки M, N и L, причем AM = AN = CL = . В куб вписан шар. Найти площадь сечения этого шара плоскостью, проходящей через т. M, N и L»
Решение:
Введем прямоугольную систему координат так, что т. B – начало координат, BM лежит на Ox, BC лежит на Oy, B C1 лежит на Oz.
Тогда A(1; 0; 0) B(0; 0; 0) C(0; 1; 0)
D(1; 1; 0) A1(1; 0; 1) B1(0; 0; 1) C1(0; 1; 1) D1(1; 1; 1)
N(1; ; 0) L(0; 1; ).
MB = AB – AM = 1 – = M( ; 0; 0)
Тогда { – 0; 0 – 1; 0 – } {1 – 0; – 1; 0 – }.
Т.е. { ; –1; – } {1; – ; – }.
Пусть т.P(x; y; z) (MNL). Тогда {x; y – 1; z – }.
Составим уравнение плоскости (MNL). Для этого составим определитель:

Тогда A = B = – C = D = – .
Радиус вписанной в куб сферы равен половине ребра, т.е. R = . Пусть т. О – центр сферы. Тогда О ( ; ; ). Найдем расстояние от т. О до плоскости (MNL):

Сечение сферы является окружность. Пусть OP – расстояние от т. О до плоскости (MNL), PQ – радиус окружности. Тогда OQ – радиус сферы.
Т.к. OP – расстояние, то OP PQ – прямоугольный.

В – прямоугольном, по теореме Пифагора . Сечение – окружность площадь сечения . Ответ:
3. Ориентировочный этап. Цель: ознакомление учащихся с операционным составом действия, подлежащего усвоению.
На данном этапе необходимо объяснить суть метода, выделить его основные компоненты, разъяснить приемы решения задач[26, С.33-39].

2.2 Алгоритм решений стереометрических задач координатно-векторным методом

Координатно-векторный метод успешно применяется при вычислении углов между прямой и плоскостью, между прямыми, а также для отыскания расстояний от точки до плоскости, между плоскостями и прямыми.
С помощью векторно- координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи ЕГЭ части С2. В качестве примеров разберём несколько заданий ЕГЭ последних лет и решим двумя способами: геометрическим и координатно-векторным.
Задача 1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB1 и BC1.
Решение (геометрический способ)

Достроим призму до 4-х угольной призмы. Проведем AD1 параллельно BC1. Искомый угол будет равен углу B1AD1. В треугольнике AB1D1: АВ1 = АD1= , B1D1 = . Используя теорему косинусов, находим cosφ = . φ =arccos .
Ответ: φ =arccos .
Решение (векторно-координатным способ)

Введём систему координат с началом в вершине А. Вершины А, В1, С1 и В имеют следующие координаты: А(0,0,0), В1(0,1,1), В(0, 1, 0), С1( , ,1).
Найдём координаты векторов АВ1 и ВС1.
АВ1(0,1,1), ВС1( , , 1).
Векторы АВ1 и ВС1 являются направляющими векторами прямых АВ1 и ВС1
cosφ=
cosφ = .
Ответ: φ =arccos .
Задача 2 (диагностическая работа 2010-2011 учебный год)
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDC1.
Решение (геометрический способ)

Решение
Обозначим O и O1 – центры граней куба. Четырёхугольник АО1С1О – параллелограмм, так как АО|| О1С1 и АО = О1С1. Следовательно, АО1 параллельна плоскости BC1D (по признаку параллельности прямой и плоскости).
Расстояние от точки A до плоскости BC1D равно расстоянию от точки O1 до этой плоскости, т.е. высоте O1E треугольника OO1C1. Имеем
OO1 = 1; O1C1 = ; OC1 .
Найдём площадь треугольника ОО1С1. S = OO1 ∙ O1C1 S = ∙1∙ =
Площадь этого треугольника можно найти другим способом: S = ∙ OC1 O1E
или = ∙ , отсюда = = =
Следовательно, O1E = .
Ответ:
Решение (векторно-координатным способ)

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В(0;1;0), D(1;0;0) и С(1;1;1). Для этого подставим координаты этих точек в уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0. Получим систему уравнений
или
Отсюда находим уравнение –Dx – Dy + Dz + D = 0 или х + у — z — 1 = 0 . По формуле находим расстояние от точки A(0;0;0) до плоскости BDC1:

l= = =
Ответ:
Анализируя два способа решения каждой задачи, можно сделать вывод, что векторно-координатный способ проще. Можно сказать, что он алгоритмичен, а это экономит время на экзамене, что важно.
Далее мы хотим предложить задачу, которая решена только векторно-координатным способом, геометрический способ не был найден нами. Это ещё раз подтверждает, что векторно-координатный способ универсален.
Задача 3
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. На его боковом ребре АА1 взята точка Е так, что |AE| = . На ребре ВС взята точка F так, что |BF| = . Через центр куба и точки Е и F проведена плоскость α. Найти расстояние от вершины В1 до плоскости α.
Решение
Введём систему координат с началом в вершине В. Тогда Е(1,0, ), F(0, ,0), В1(0,0,1), О( , , ). Найдём уравнение плоскости α. Общий вид уравнения плоскости
Ах + Ву + Сz + D = 0. (1)

Заметим, что α не проходит через начало координат, поэтому D ≠ 0 и уравнение (1) можно разделить на D. Получим следующее уравнение:
x или ax + by + cz + 1= 0. (2)
Для определения неизвестных коэффициентов a, b, c подставим в уравнение (2) координаты трёх точек Е, F и О, удовлетворяющие этому уравнению, (эти точки лежат в плоскости α). Получим систему уравнений:
а∙1+b∙0+c∙ +1=0
а∙0+b∙ +c∙0+1=0
а∙ +b∙ +c∙ +1=0 Откуда находим а = — , b = -4, c = .
Итак, уравнение плоскости имеет вид 5х + 8у – 9z – 2 = 0.
Теперь находим расстояние от точки В1(0,0,1) до плоскости α.
l =
Ответ: .

Выводы по главе 2

Метод координат в курсе геометрии (как планиметрии так и стереометрии) является альтернативным подходом к решению геометрических задач. Кроме того некоторые приемы метода координат используются при решении задач повышенной сложности в школьном курсе алгебры. ¬Часто одну и ту же задачу можно решить как классическим методом основанным на аксиомах теоремах и свойствах фигур, так и при помощи «координатно-векторного подхода».
Метод координат хорош тем, что не требует постоянных отсылок на свойства, теоремы и аксиомы, которые приходится постоянно приводить в виде цепочки логических высказываний в тексте решения задачи, а также не требует навыков построения сечений. При использовании данного метода достаточно лишь поместить геометрическое тело в систему координат, и отталкиваясь лишь от свойств данного тела выполнить расчетную часть.

Заключение

Таким образом, исходя из поставленных задач в начале исследования, можно сделать следующие выводы:
Векторный метод и координатный метод являются базовыми методами для решения многих задач в геометрии.
Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.
Координатный метод решения задач при правильном подходе позволяет решить многие виды задач из математики, физики, астрономии, а также немало технических задач. Координатный метод в школьной программе используется неполно и ограничено. Поэтому, обучение учащихся решению задач векторно-координатным методом должно найти свое место в обучении геометрии. При этом важно раскрыть суть метода на примере рассмотрения задачи, показывающей достоинство данного метода, дать ориентировочную основу действия для применения этого метода.
Изучение метода координат является неотделимой частью школьного курса геометрии, так как его можно успешно применять при решении большого числа сложных стереометрических задач, в том числе, задач Единого Государственного экзамена (задание №14). А так как, эти задания — повышенной сложности, то они приносят учащимся хорошие баллы при сдаче ЕГЭ.
Необходимо обучить учащегося владеть всеми приемами координатно-векторного подхода, и уметь быстро выбрать оптимальный метод решения задачи после ознакомления с ее условием. Кроме того он должен уметь правильно разместить геометрическое тело в системе координат, для того чтоб максимально облегчить себе расчетную часть.
Для достижения этих целей, а также для привлечения внимания учащихся к непривычному для них подходу хорошо дать возможность сравнить решение одной и той же задачи двумя разными, совершенно не похожими друг на друга способами. Ведь часто даже известные задачи старых конкурсных экзаменов или математических олимпиад, имеют решения в которых порой разобраться очень сложно. Но многие из них имеют и альтернативное решение, в котором на смену многостраничным описаниям построения сечения и теоретического обоснования приходит несколько формул, в результате грамотного использования которых получается абсолютно верное решение не требующее подробного объяснения и не требовательное к чертежу. Конечно такой метод решения задач особенно востребован у учащихся проявляющих повышенный интерес к математике и выбравших ее своим профильным предметом. Кроме того позволяет сохранить балл при сдаче ЕГЭ и избежать ошибок в теоретической части решения задачи 14. Например, для того, чтоб доказать что точка принадлежит плоскости достаточно написать уравнение данной плоскости и подставить в него координаты точки, вместо того, чтоб строить сечения, несколько раз доказывать подобие и отталкиваться от соотношений отрезков или геометрических аксиом.
Решение задач векторно-координатным методом имеет свой алгоритм решения, что в большинстве случаев упрощает само решение задачи и поиск. Изучение векторно- координатного метода является неотъемлемой частью в школьном курсе геометрии. Необходимо организовать изучение метода координат, которое позволит учащимся научиться решать задачи разной сложности векторно- координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач.

Список литературы

1. Айвазян Д.Ф. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс .-Волгоград:Учитель,2009
2. Александров, А.Д. Геометрия. Методические рекомендации. 10 — 11 классы [Текст]: Пособие для учителей общеобразоват. организаций / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. — М. : Просвещение, 2014. – 144 с.
3. Александров, А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геомерия 10 — 11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / А. Д. Александров, А.Л. Вернер, В. И. Рыжик. — М. : Просвещение, 2014. – 255 с.
4. Готман, Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения/ Э.Г. Готман. – М.: МЦНМО, 2006. – 160 с.
5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса. – М.: Илекса, 2002, — 160 с.
6. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса. – М.: Илекса, 2002, — 160 с.
7. Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников. Учебно – дидактический комплекс. – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2003. – 468 с.
8. Зайцева Г.Д. О решении задач различными методами.// Матем. в школе. – 1982. — № 5. – С. 50 – 52.
9. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7 – 11 классы. С. – Петербург, 1998. – 624 с.
10. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней. http://alexlarin.net/ege/2011/C12011.pdf
11. Кушнир И.А. О применении одной векторной формулы.//Матем. в школе. – 1981. — № 2. – С. 32 – 34.
12. Литвиненко В.Н., Безрукова Г.К. Задачи по стереометрии (10 – 11 классы). – М.: Школьная Пресса, 2005. – 92 с.
13. Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст]: Учеб. пособие для студентов физ. — мат. спец. пед. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е.И. Лященко. — М.: Просвещение, 1988. – 223 с.
14. Маковей В.Г., Мельник Н.С. Применение векторов к решению задач.// Матем. в школе. – 1978. — № 2. – С. 50 – 53.
15. Моденов П.С. Задачи по геометрии. – М.: Наука, 1979. – 368 с.
16. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия. / Е.В. Потоскуев. — М.: Издательство «Экзамен», 2016. – С. 223.
17. Потоскуев Е.В. Векторно–координатный метод при решении стереометрических задач.// Метем. в школе. – 1995. — №1. – с.23-26.
18. Потоскуев, Е.В. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 256 с.
19. Потоскуев, Е.В. Геометрия. 10 кл.: Методическое пособие к учебнику Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича «Геометрия. 10 кл» / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник. — М.: Дрофа, 2004. – 224 с.
20. Потоскуев, Е.В. Геометрия. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углуб. и профильным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – М.: Дрофа, 2010. – 223 c.
21. Потоскуев, Е.В. Геометрия. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений с углуб. и профильным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – М.: Дрофа, 2004. – 268 c.
22. Потоскуев, Е.В. Правильная шестиугольная призма как модель геометрии прямых и плоскостей / Математика в школе 2016. — № 4. — С. 26-34. 12. Потоскуев, Е.В. Прямые и плоскости в координатах. / Е.В. Потоскуев // Математика – Первое сентября. – 2013. – № 6. – С. 22-23.
23. Потоскуев, Е.В. Эффективные помощники «вхождения» в метрическую стереометрию/ Е.В. Потоскуев // Математика – Первое сентября. – 2010. – № 23. – С. 13–15.
24. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 10-11 классы/ Сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение. – 2009. – С. 95.
25. Прокофьев, В.В. О различных подходах к вычислению расстояния между скрещивающимися прямыми. / В.В. Прокофьев // Математика в школе. – 2015. – № 5. – С. 18–32.
26. Руськина Н.М. Об углах в правильной шестиугольной призме. / Н.М. Руськина // Математика и математическое образование: сборник трудов VIII Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (к 240 — летию со дня рождения Карла Фридриха Гаусса), 26 — 29 апреля 2017 года, Россия, г. Тольятти / под общ. ред. Р.А. Утеевой. — Тольятти: Изд-во ТГУ, 2017. – С.453-456.
27. Сборник задач по геометрии для проведения устного экзамена в 9 и 11 классах: Пособие для учителя/ Д.И. Аверьянов, Л.И. Звавич, Б.П. Пигарев, А.Р. Рязановский. – М.: Просвещение: Учеб. лит., 1996. – 96 с.
28. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией М.И. Сканави. Учеб. пособие. Изд. 3-е, доп. – М.: “Высш. Школа”, 1977. – 519 с.
29. Сканави М.И. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУзы
30. Смирнова, И.М. Геометрия 10 — 11 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е изд., испр. и доп. — М. : Мнемозина, 2008. — 288 с.
31. Шестаков С.А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. – М.:МЦНМО, 2005.
32. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С1– М.: МЦНМО, 2011.
33. Электронное пособие «Решение стереометрических задач векторно-координатным методом» / Е. Купцова / https://yadi.sk/d/yCH7pJg2zgroJ
Приложение

Целью данной методической разработки является создание конспекта элективного занятия посвященных координатно-векторному подходу, привлечения внимания учащихся к новому для них методу решения задач, выбору верного подхода к решению задачи и стремления применять метод координат самостоятельно в повседневной школьной геометрии в том числе на диагностических и итоговых испытаниях.
Конспект занятия 1
Продолжительность: 2 занятия по 45 минут с перерывом в 10 минут.
Тема занятия: Решение стереометрических задач с помощью метода координат.
Тип занятия: Обобщение и систематизация знаний.
Цели занятия:
1. Практикум по нахождению расстояний и углов в пространстве с помощью метода координат. Освоить доказательство принадлежности точки к плоскости. Используя учебные конспекты и справочные таблицы в учебнике решить задачи на каждый из случаев, в качестве примеров берутся актуальные задания с ближних СТАТГРАДов, олимпиад и пробников ЕГЭ .
2. Через решение задач на нахождение расстояний и углов в пространстве двумя способами (геометрический и метод координат ) сделать вывод о преимуществе метода координат для решения ряда задач этого блока.
3. Расширить представление о применении метода координат в решении стереометрических задач на построение сечения.
Форма организации работы:
1. Работа по группам (2 человека), у каждого карточка с заданием.
План занятий :
1. Постановка целей урока. Организация хода урока.(2 мин.)
2. Разбор решения домашних задач на нахождение расстояний между точками, точкой и плоскостью в прямоугольном параллелепипеде геометрическим методом. (Работа в группах)(3 мин.)
3. Мотивирование решения домашних заданий методом координат. Решение задач в группах координатным методом с последующим обсуждением в классе и формирование выводов о преимуществах того или иного метода.(7 мин.)
4. Обобщение видов задач на определение расстояний и углов в пространстве и способов (алгоритмов) их нахождения методом координат через постановку вопросов к домашним задачам. Систематизация теоретических знаний через использование учебных конспектов и справочных таблиц в учебнике, вспоминаем формулы, и построение уравнения плоскости(10 мин.).
5. Использование метода координат в конкретной ситуации: решение задачи по материалам ЕГЭ параллельно методами координат и геометрическим. (23мин.)
6. Перемена.
7. Расширение представлений о возможностях метода координат через задачу о сечении прямоугольного параллелепипеда плоскостью, без построения плоскости этого сечения, нахождение двугранного угла. (20 мин).
8. Самостоятельная работа по решению задач подобных разобранным (24 мин).
9. Формулирование домашнего задания(1 мин.).

1. Этап урока.
Возможные варианты ответов и действий учеников
Преступая к решению любой задачи, анализируя её условие мы определяем метод решения.
К настоящему моменту решение стереометрической задачи мы способны осуществить двумя методами .
Назовите эти методы.
Классический геометрический (условное название)
Координатно-векторный
Каждый метод имеет свой язык , свои алгоритмы. Сегодня на уроке к решению одной задачи мы применим и геометрический метод и метод координат.
Попробуем сравнить их с позиции удобства и простоты решения. На основе этой же задачи подробно поговорим о методе координат в задачах на нахождение расстояний и углов в пространстве.
Какие вопросы по вашему мнению должны быть рассмотрены в ходе урока? 1. Как найти расстояние от точки до плоскости?
2. Как найти угол между плоскостями?
3. Как найти угол между прямой и плоскостью?
4. Чем являются коэффициенты А,В,С в уравнении плоскости.
5. Вектор нормали. Как выбрать простейший?
6. Как доказать принадлежность точки к плоскости?
II Этап урока.
Дома надо было решить три задачи при помощи классической геометрии, т.е. последовательно вычислительным способом ответить на вопрос о нахождении расстояния между двумя точками и точкой и плоскостью.
Идет обсуждение решения.
Если задача не решена ,то можно попросить помощь учителя (листы с готовыми решениями или комментарии по конкретным вопросам).
Сделайте выводы по ходу выполнения домашней работы.
Были ли трудности ?
В чем они заключались?
И так, можно сделать вывод:
Задачи вызвали затруднения в ходе решения и потребовали достаточное количество времени.
Организуем проверку решения домашних задач следующим образом:
В группе 1 человек рассказывает решение одной задачи, 2-ой – другой задачи.
Возможные ответы:
Для решения задачи надо уметь правильно выстроить логическую цепочку рассуждений, основанную на многих теоретических фактах.
Не сделать вычислительных ошибок.
Длинное решение – можно запутаться. И т д.
Обратимся к теме урока и той цели ,которую мы для себя определили.
Какова схема решения задач этим методом? 1. Выбрать систему координат.
2. Найти координаты нужных точек, векторов или составить уравнения нужных плоскостей.
3. Сформулировать задачу, с помощью координат решить ее.
4. Сделать вывод без использования координат. Записать ответ.
На доске уже записаны главные вопросы задач на языке метода координат.
Каким способом решаем эти задачи?
Задание группам:
Решить домашние задачи методом координат. Возможны варианты организации работы:
1. Все решают одну задачу, затем совместно проверяют.
2. Два человека в группе решают одну задачу, два человека –другую задачу.
3. Если возникают трудности , то уч-ся берут помощь учителя.

Подводим итог работы с задачами.
Учащиеся называют полученные ответы. Сравнивают их с предыдущими результатами, выписанными на доске. Делают выводы о правильности решения.

В задаче требовалось составить уравнение плоскости.
Каким способом можно составить общее уравнение плоскости?
Кто пользовался ,каким из перечисленных способов? Какой из них предпочтительней в данном случае и почему ? По трем точкам.
По точке и вектору нормали к плоскости.
3 этап урока. Практикум по решению задач.

Задача 1. Источник профильный СТАТГРАД от 11.02.2016г. Условие:

Задачу решает и объясняет учитель, в большинстве моментов задает вопросы ученикам. Решение: а) Поместим прямоугльный параллелепипед в пространственную систему координат, так, что В(0;0;0), а оси X, Y, Z совпадают с ребрами параллелепипеда. Вычислим отрезки AE=12, BF=15, B1T=3. = > E(12;0;3), F(0;0;15), T(0;3;18).
Составим уравнение плоскости EFT:
=> =>
EFT: Cx-Cy+Cz-15C=0 (поделим на С)
x-y+z-15=0 (выполним устно проверку по воодным точкам и убедимся что это уравнение плоскости.
Точка D1(3;6;18). Проверим: 3-6+18-15=0 => D1 EFT.
Б)Найдем угол между плоскостями.
Cos = ; где векторы нормали к плоскостям. Тогда: {1;-1;1} . Вторую нормаль выберем произвольно какую нам удобнее. Разумеется это
Cosφ= =

Задача 2. Известная олимпиадная задача разобранная в пособии Ткачука В.В, «Математика — абитуриенту». Приведенное в книге решение крайне тяжелое, и вызывает много вопросов. Попробуем упростить.

Примечание: все чертежи демонстрируются учащимся на интерактивной доске в программе 3D моделирования Geogebra.
(20 мин) Поместим куб в пространственную систему координат, так, что A(0;0;0), а ребра совпадают с осями. Тогда: E(0;0; ); F(1; ;0); O(0.5;0.5;0.5).
Составим уравнение плоскости в виде Ax+By+Cz+D=0.
=> => =>
=> EFO: — x+ -3z+1=0 =>
5x-8y+9z-3=0
B1(1;0;1)
d= =

Теперь самостоятельная работа в специальных тетрадях для элективных занятий. Кому что то непонятно, может воспользоваться помощью преподавателя или забрать карточку с собой и дорешать дома. (15 мин)
Подведем итоги урока.
Одной из целей урока было показать на конкретных примерах предпочтительность координатного метода для решения задач с прямоугольным параллелепипедом на нахождение расстояний и углов в пространстве.
Для достижения этой и других целей урока мы проделали большой объем работы. Что полезного сегодня было на уроке? По сравнению с классическим методом метод координат предпочтительнее так как позволяет не писать теоретические выкладки. Конечно когда задачу решать можно им, то лучше выбрать именно этот способ.
Интересно попробовать вписать в систему координат сферу или шестиугольную пирамиду. Посмотреть как она будет работать с таких фигурах.
Все выше сказанное позволяет сделать вывод об обобщении применения метода координат для нахождения расстояний и углов при решении конкретных задач .